Math 21, Fall, 2000

Lehigh University

5.0  Sigma notation.

Example 1 Find

100 å i = 2  ( 1 i - 1 i-1 ).

Solution

This is more sophisticated than the others. It is what is called a telescoping sum, named after the kind of telescope you would see on an old pirate movie, which the captain would expand to look through, then collapse it back down to a fraction of its original length. Write out the first few terms of that sum:

100 å i = 2  ( 1 i - 1 i-1 ) = æ ç è 1 2 - 1 1 ö ÷ ø + æ ç è 1 3 - 1 2 ö ÷ ø + æ ç è 1 4 - 1 3 ö ÷ ø +¼,

and you see that the second part of the second term cancels the first part of the first, etc., so

100 å i = 2  ( 1 i - 1 i-1 ) = æ ç è 1 2 - 1 1 ö ÷ ø + æ ç è 1 3 - 1 2 ö ÷ ø + æ ç è 1 4 - 1 3 ö ÷ ø +¼+ æ ç è 1 100 - 1 99 ö ÷ ø = æ ç è 0- 1 1 ö ÷ ø + æ ç è 1 3 -0 ö ÷ ø + æ ç è 1 4 - 1 3 ö ÷ ø +¼+ æ ç è 1 100 - 1 99 ö ÷ ø = æ ç è - 1 1 ö ÷ ø +( 0) + æ ç è 1 4 -0 ö ÷ ø +¼+ æ ç è 1 100 - 1 99 ö ÷ ø = ¼ = - 1 1 + 1 100 = - 99 100 .

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