On-line Math 21

2.2  Differentiation Rules

Theorem 6 The derivative of a quotient

f g ,

is given by

æ ç è f g ö ÷ ø ¢ = f¢·g-g¢·f g2 .

Proof:

We have to do this by the definition, as well. The trick will be a little different. Watch for it:

æ ç è f g ö ÷ ø ¢(x) = lim h® 0  æ ç è f g ö ÷ ø (x+h)- æ ç è f g ö ÷ ø (x) h = lim h® 0  f(x+h) g(x+h) - f(x) g(x) h = lim h® 0  æ ç è f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h) g(x)g(x+h) ö ÷ ø h = lim h® 0  f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h) g(x)g(x+h)h = lim h® 0  f(x+h)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+h) g(x)g(x+h)h = lim h® 0  æ ç è f(x+h)g(x)-f(x)g(x) g(x)g(x+h)h + f(x)g(x)-f(x)g(x+h) g(x)g(x+h)h ö ÷ ø = æ ç è lim h® 0  f(x+h)-f(x) h g(x) g(x)g(x+h) - lim h® 0  g(x+h)-g(x) h f(x) g(x)g(x+h) ö ÷ ø = f¢(x)g(x)-g¢(x)f(x) (g(x))2 .

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